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Numeri primi, un mondo tutto da scoprire

Numeri primi, cosa sono e quali enigmi nascondono

 

Numeri primi, che bel dilemma! Cominciamo dalla definizione: un numero primo è un numero naturale maggiore di uno e divisibile solo per uno e per se stesso. Semplice no? Eppure i numeri primi hanno suscitato l’interesse di tutti i matematici.  Dal 300AC, infatti, quando nasce la teoria dei numeri primi con Euclide, passando per il crivello di Eratostene, metodo in grado di generare liste di numeri primi, fino ad arrivare a Eulero che con Pierre de Fermat ne dimostrò l’infinita, ancora oggi sono avvolti da un alone di mistero perché quel che sappiamo di loro non ci basta.

I numeri primi fino a 1000

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Nota bene, in linea teorica anche 1 è un numero primo perché per  la definizione elementare rientra in quelli che hanno solo loro stessi come divisori. Ma, per convenzione, non lo so include in questo speciale elenco.

Numeri primi, cosa li rende così speciali?

Anzitutto i numeri primi, nella loro successione naturale, sono isolati. Lo scrittore Paolo Giordano lo sapeva bene. Ad ispirare il suo romanzo “La solitudine dei numeri primi” è stata proprio la matematica: i protagonisti tendono sempre ad avvicinarsi l’un l’altro, senza mai raggiungersi.

Fuor di metafora non ci sono mai due numeri primi vicini tra di loro. Un esempio perfetto è dato dai cosiddetti numeri gemelli, separati da un solo numero pari – per esempio 11 e 13. Si congettura che questi numeri siano infiniti ma in realtà anche le dimostrazioni volte a dimostrarlo sono limitate. Una di queste fu formulata da Euclide. il quale ipotizzò che esistano infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo. Teoria che fu poi screditata da Alphonse de Polignac e più di recente da Yitang Zhang che una decina di anni fa asserì: “esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono tra loro di un numero N inferiore a settanta milioni”. Altro problema riguarda la loro distribuzione che sembra casuale poiché nessuna regolarità nella successione è stata ancora scoperta.  Se ciò non bastasse, se gli atomi della matematica siano finiti o meno è uno dei problemi maggiori che questi numeri portano.

I numeri primi, uno dei problemi irrisolti della matematica

Ebbene sì. È questo il premio per chi risolve uno dei cosiddetti Millennium Problems, sette problemi irrisolti della matematica, tra cui ovviamente quello dei numeri primi. Eppure intorno a questi famigerati enigmi della matematica i misteri non sono pochi.

Basti pensare a Grigory Perelman. Il matematico russo che, dopo sei anni di studio, è riuscito a dimostrare nel 2006 la congettura di Poincaré, una delle proprietà matematiche più dibattute nella branca della topologia. Dopo aver rifiutato l’invito e il premio in denaro, è scomparso. Solo dopo anni egli ha spiegato alla stampa il motivo del suo rifiuto: un’immeritata scoperta. 

Ad oggi la congettura di Poincaré è l’unico dei sette Millennium Problems ad essere stato risolto.

Numeri primi e la loro applicazione: da Reimann alla crittografia digitale asimmetrica

 

Fu nel 1859 che il grande matematico tedesco Georg Bernhard Reimann introdusse una funzione – nota come Zeta di Reimann – che permette di individuare i numeri primi. La validità della Zeta di Reimann è però dimostrata per un miliardo e mezzo di casi. Questa cifra non basta.

Riuscire a trovare un nuovo numero primo è operazione complessa anche per un computer. È per questo che i numeri primi sono usati come base di un ampio insieme di codici usati da internet.

Negli anni Settanta tre ricercatori – Rivest, Shamir, Adleman – svilupparono un algoritmo sui numeri primi fondamentale. Al giorno d’oggi questa scoperta è alla base dei cifrari che proteggono i numeri  delle carte di credito o degli accessi online. Oggetto di questo tipo di crittografia – digitale asimmetrica – sono dunque i numeri primi: più alti sono, più il codice sarà sicuro. Per violare il sistema occorrerà risalire al prodotto dei due numeri primi che hanno generato il grande numero.

L’Electronic Frontier Foundation ha messo in palio 150mila dollari per chi troverà un numero primo di un miliardo di cifre, perché sarebbe una garanzia assoluta per la privacy. Nel 2016 è stato scoperto il numero primo più grande. Le sue ventidue milioni di cifre sono riassunte nella sigla M74207281.

Chi sarà il prossimo a scoprire un altro tassello in questo mondo inesplorato?


Numeri primi, alcuni libri

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