Il paradosso di Monty Hall: perché cambiare porta conviene

Il paradosso di Monty Hall, o problema di Monty Hall, è un famoso problema di teoria della probabilità. Prende il nome da Maurice Halprin, in arte Monty Hall, conduttore del gioco a premi statunitense “Let’s Make a Deal”, su cui il problema si basa. La soluzione del paradosso, sebbene logicamente ineccepibile, è spesso controintuitiva e ha generato (e genera tuttora) accesi dibattiti.

Le regole del gioco: tre porte e una scelta

Il gioco è semplice:

1. Al concorrente vengono mostrate tre porte chiuse.
2. Dietro una porta c’è un’auto (il premio), dietro le altre due ci sono delle capre.
3. Il concorrente sceglie una porta, senza aprirla.
4. Il conduttore, che sa cosa c’è dietro ogni porta, apre una delle due porte non scelte dal concorrente, mostrando sempre una capra (il conduttore non aprirà mai la porta con l’auto).
5. Il conduttore offre al concorrente la possibilità di cambiare la sua scelta iniziale con l’altra porta rimasta chiusa.
6. Il concorrente decide se mantenere la scelta iniziale o cambiare porta.

La soluzione controintuitiva: 2/3 di probabilità di vincere

Contrariamente a quanto si potrebbe pensare, cambiare porta raddoppia le probabilità di vincere l’auto. Mantenendo la scelta iniziale, la probabilità di vittoria è di 1/3 (circa il 33,3%). Cambiando porta, la probabilità sale a 2/3 (circa il 66,7%).

Perché cambiare porta? La spiegazione dettagliata

I tre scenari possibili: Capra 1, Capra 2, auto

Per capire il perché, analizziamo tutti i possibili scenari iniziali:

1. Il giocatore sceglie la porta con la Capra 1 (probabilità 1/3):
   • Il conduttore deve aprire la porta con la Capra 2.
   • Cambiando porta, il giocatore vince l’auto.
2. Il giocatore sceglie la porta con la Capra 2 (probabilità 1/3):
   • Il conduttore deve aprire la porta con la Capra 1.
   • Cambiando porta, il giocatore vince l’auto.
3. Il giocatore sceglie la porta con l’Auto (probabilità 1/3):
   • Il conduttore apre una delle due porte con le capre (a caso).
   • Cambiando porta, il giocatore perde.

L’informazione chiave: la scelta del conduttore

In due casi su tre (A e B), cambiare porta porta alla vittoria. Questo perché l’azione del conduttore *non è casuale*. Egli *sa* dove si trova l’auto e *sceglie deliberatamente* di aprire una porta con una capra. Questa azione fornisce al giocatore un’informazione cruciale.

Inizialmente, la probabilità di scegliere la porta con l’auto è di 1/3. Di conseguenza, la probabilità che l’auto si trovi dietro *una delle altre due porte* è di 2/3. Quando il conduttore rivela una capra dietro una di quelle due porte, *non* sta modificando la probabilità iniziale. I 2/3 di probabilità che l’auto fosse dietro una delle due porte non scelte *si concentrano* sull’unica porta rimasta chiusa che il giocatore non aveva scelto all’inizio.

Oltre l’intuizione: il  paradosso di Monty Hall e la probabilità condizionata

Il paradosso di Monty Hall è un classico esempio di come la nostra intuizione possa fallire di fronte alla probabilità condizionata. Il fatto che il conduttore sappia e agisca di conseguenza cambia radicalmente le carte in tavola, rendendo il cambio di porta la strategia vincente. Il paradosso di Monty Hall dimostra l’importanza di un approccio rigoroso e non intuitivo al calcolo delle probabilità.

In conclusione, la prossima volta che vi troverete di fronte a tre porte, ricordate: cambiare conviene!

Fonte immagine: Wikipedia