Pi greco (π): la costante di Archimede, definizione, storia e curiosità

Da non confondere con il numero di Archimede (un numero adimensionale usato in fluidodinamica), la costante di Archimede, nota anche come costante di Ludolph o numero di Ludolph, o più semplicemente come “Pi greco”, è una fondamentale costante matematica. La sua definizione è astratta, indipendente da misure di carattere fisico, e non rientra tra le costanti fisiche o naturali. La scelta della lettera greca pi (π) per indicare il Pi greco deriva dall’iniziale di perifereia (περιφέρεια), termine usato in greco antico per indicare la circonferenza.

Che cos’è il Pi greco e le sue definizioni matematiche

Nella geometria piana, il Pi greco viene definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, oppure come l’area di un cerchio di raggio unitario (raggio 1). Nei moderni testi di analisi matematica, il Pi greco viene definito utilizzando le funzioni trigonometriche; ad esempio, come il più piccolo numero strettamente positivo x per cui sin(x)=0, oppure come il più piccolo numero positivo x tale che x/2 annulla la funzione cos(x). Tutte queste definizioni sono matematicamente equivalenti. Il valore comunemente usato del Pi greco è approssimato a 3,14, e il primo matematico a fornire una rigorosa verifica e definizione di questo valore fu il celebre Archimede di Siracusa.

Il contributo di Archimede alla definizione del valore di Pi greco

Il palinsesto di Archimede: la rinascita del pensiero matematico

Il ragionamento di Archimede per approssimare il Pi greco partì dalla costruzione di un quadrato circoscritto e un esagono inscritto a una circonferenza. Successivamente, egli inscrisse e circoscrisse poligoni regolari con un numero sempre maggiore di lati (fino a 96 lati). Con questa sua ingegnosa procedura, riuscì a stabilire che il valore è compreso tra 3,140845 (223/71) e 3,142857 (22/7), fornendo così l’approssimazione pratica di 3,14 che usiamo ancora oggi.

La storia: un viaggio attraverso i secoli e le scoperte matematiche

La scoperta e la comprensione della costante di Archimede rappresentano un affascinante viaggio attraverso i secoli. Sebbene il simbolo π sia stato introdotto solo nel XVII secolo da William Jones e reso popolare da Eulero, i primi calcoli sul suo valore risalgono a diversi secoli prima. Già intorno al 1650 a.C., uno scriba egizio, nel Papiro di Rhind, affermava che l’area di un cerchio di diametro d è uguale all’area di un quadrato con lato pari a 8/9 del diametro d. Questo primo calcolo implicava un valore approssimato per il Pi greco. Troviamo tracce di tentativi di calcolo di questa costante anche in antichi testi, come nella storia narrata nella Bibbia, relativamente alla costruzione del Tempio di Salomone nel 968 a.C. e di un bacino di rame circolare usato dai sacerdoti.

Le prime approssimazioni e i calcoli di Ludolph van Ceulen

Facendo un altro salto nel tempo, arriviamo al 1610, quando il matematico olandese Ludolph van Ceulen dedicò gran parte della sua vita a calcolare le prime 35 cifre decimali del Pi greco, utilizzando poligoni con un numero impressionante di lati (oltre 2 miliardi). Proprio in suo onore, il Pi greco è anche chiamato costante di Ludolph. Successivamente, nel 1770, il matematico svizzero Johann Lambert dimostrò che questa costante matematica è in realtà un numero irrazionale, e quindi un decimale illimitato non periodico. Molti matematici tentarono invano di rappresentare geometricamente questo numero irrazionale usando solo compasso e riga. Fu solo alla fine dell’Ottocento che il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann dimostrò l’impossibilità di tale costruzione geometrica, provando che il Pi greco è anche un numero trascendente (cioè non è radice di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi).

Alcune curiosità che non conosci sulla costante di Archimede:

• Al cinema è uscito il film “Pi Greco – Il teorema del delirio”: un thriller psicologico del 1999 diretto da Darren Aronofsky, il cui titolo rimanda esplicitamente alla costante di Archimede e al suo mistero.
• Quasi un secolo fa, nel 1897, lo stato dell’Indiana, negli Stati Uniti, attraverso una proposta di legge (Indiana Pi Bill), cercò di fissare per legge il valore del Pi greco a 3,2, basandosi su presunte dimostrazioni geometriche errate. Fortunatamente, la legge non fu approvata definitivamente.
• Il giorno 14 marzo (scritto 3/14 nel formato data americano) è celebrato in tutto il mondo come la giornata mondiale della costante di Archimede o “Pi Day”, poiché 3, 1 e 4 sono le prime tre cifre significative del Pi greco.
• Molti artisti e cantanti hanno dedicato alcune loro opere a questa affascinante costante matematica, affascinati dal suo mistero e dalla sua perfezione. Un esempio è Kate Bush, che nel suo album Aerial del 2005 ha inserito un brano intitolato “π” in cui canta numerose cifre decimali.