Il termine paradosso, dal greco parádoxos (contro l’opinione), indica un’affermazione che appare contraria all’esperienza comune. Molti conoscono il paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga o quello del gatto di Schrödinger, ma uno dei più eleganti e spiazzanti è il paradosso del barbiere.
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Il testo del paradosso del barbiere
Agli inizi del ventesimo secolo, il filosofo e matematico inglese Bertrand Russell (1872-1970) stava lavorando alla teoria degli insiemi quando formulò questa celebre antinomia. L’enunciato è il seguente:
In un villaggio c’è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato. Il barbiere rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. La domanda è: chi rade il barbiere?
La trappola logica: perché è un paradosso?
Il paradosso del barbiere sembra un rompicapo, ma la sua forza sta in una contraddizione logica ineliminabile. Dividiamo gli uomini del villaggio in due gruppi:
- Gruppo A: gli uomini che si radono da soli.
- Gruppo B: gli uomini che non si radono da soli (e che quindi vengono rasi dal barbiere).
Ora, dove collochiamo il barbiere? Analizziamo le due possibilità:
- Se il barbiere si rade da solo: allora appartiene al gruppo A. Ma la regola dice che il barbiere rade solo quelli che non si radono da soli. Quindi non può radere sé stesso. Questa opzione è impossibile.
- Se il barbiere non si rade da solo: allora appartiene al gruppo B. Ma la regola dice che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli. Quindi, dato che lui stesso appartiene a questo gruppo, deve radere anche sé stesso. Ma questo contraddice la nostra premessa. Anche questa opzione è impossibile.
Entrambe le ipotesi portano a una contraddizione. Il barbiere non può né radersi da solo né non radersi da solo. Ecco la trappola.
La vera soluzione del paradosso
La soluzione del paradosso del barbiere è sorprendentemente semplice e controintuitiva. La domanda “chi rade il barbiere?” è mal posta perché si basa su una premessa errata. La soluzione è:
Un barbiere con queste caratteristiche non può esistere.
Il paradosso non è un problema da risolvere trovando chi fa la barba al barbiere, ma un esercizio logico che dimostra l’impossibilità dell’esistenza di una figura definita in modo così contraddittorio. Il villaggio, così come descritto, non può esistere nella realtà logica.
Il cuore matematico: il paradosso di Russell e gli insiemi
Il paradosso del barbiere è la versione divulgativa di un problema più profondo di insiemistica matematica, noto come Paradosso di Russell. Per capirlo, dividiamo gli insiemi in due categorie:
- Insiemi “normali”: quelli che non contengono sé stessi come elemento (ad esempio, l’insieme di tutti i gatti non è un gatto).
- Insiemi “non normali”: quelli che contengono sé stessi come elemento (ad esempio, l’insieme di tutti i concetti astratti è a sua volta un concetto astratto).
Russell propose di considerare un insieme speciale, che chiameremo R: l’insieme di tutti gli insiemi “normali” (cioè l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi).
A questo punto, Russell si pose la domanda fatidica: l’insieme R contiene sé stesso?
- Se R contiene sé stesso: allora dovrebbe essere un insieme “non normale”. Ma per definizione, R contiene solo insiemi “normali”. Contraddizione.
- Se R non contiene sé stesso: allora è un insieme “normale”. Ma R contiene tutti gli insiemi “normali”, quindi dovrebbe contenere anche sé stesso. Contraddizione.
Proprio come il barbiere, l’insieme R non può né contenere né non contenere sé stesso. La conclusione è che un tale insieme non può esistere. Questo paradosso mise in crisi le fondamenta della logica e della matematica di inizio ‘900, costringendo i matematici a rivedere la teoria degli insiemi.
Tabella riassuntiva: dal barbiere agli insiemi
| Versione Divulgativa (Barbiere) | Versione Formale (Insiemi) |
|---|---|
| Il barbiere | L’insieme R |
| “Rade” un uomo | “Contiene” un insieme |
| Uomini che non si radono da soli | Insiemi che non contengono sé stessi |
| Contraddizione: Il barbiere si rade se e solo se non si rade. | Contraddizione: L’insieme R appartiene a sé stesso se e solo se non vi appartiene. |
Consigli pratici per capire i paradossi
- Focalizzati sulle premesse: la “magia” di molti paradossi logici non è nella soluzione, ma nelle regole iniziali. Se le premesse sono contraddittorie, qualsiasi conclusione sarà problematica.
- Traduci in termini semplici: come mostra la tabella, tradurre il problema del barbiere in quello degli insiemi (e viceversa) aiuta a vedere la struttura logica sottostante.
- Non cercare una risposta “reale”: l’obiettivo non è trovare una scappatoia (es. “il barbiere è una donna” o “usa un rasoio elettrico”). L’obiettivo è capire perché la struttura logica è impossibile.
Fonte immagine: Pixabay
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